Kurs 29: Matematiske bevis: teori, praksis og historie

Kurset gir en innføring til viktige sider av matematisk bevisføring: Teori og praksis i moderne matematisk forskning sammenliknet med skolematematikk og noen historiske betraktninger rundt utviklingen av beviskonseptet.

Kurset bygger delvis på arbeidet med boken [1].

1) Historisk utvikling: fra Euklids elementer til Hilberts program. Geometri har lenge vært i sentrum for utviklingen av aksiomatisk metode og bevisføring. Både Euklidsk (ca 300 f.Kr.) og ikke-Euklidsk (ca. 1830) geometri utgjør milepæler. Paradoksalt nok har innføringen av bevis som eget tema i skolen kommet samtidig med en nedprioritering av geometri. Koordinering av syn, tale og skrift er under press. Jeg vil også kommentere senere utviklinger som Gödels berømte negative resultater for logikken (ufullstendighetsteoremene av 1931) og digitale bevisassistenter som Coq og Lean. Vi vil også diskutere konsekvenser av generativ KI.

2) Bevis kan ses på som et rent syntaktisk spill, som illustrert i [2]. Gitt symbolstrenger har vi regler for hvilke symbolstrenger vi kan utlede. Dette er uavhengig av tolkninger a symbolstrengene. Spillereglene for moderne bevis er fastlagt i klassisk logikk og mengdelære. Disse kan beskrives på noen sider.

3) Illustrasjon av sentrale bevisteknikker: Disjunksjon, induksjon, motsigelse. Dette blir kanskje den største bolken i kurset.

Jeg vil prøve å skape arenaer for debatt underveis, for eksempel om poenget med bevisføring i skolen. Vi vil også drøfte eksempler på bevis.

https://www.mn.uio.no/math/personer/vit/snorrec/matematisk-fundament.html (publiseres på web-siden for kurset)

Litteratur:
[1] S. H. Christiansen «Matematisk fundament», Universitetsforlaget, 2023.
[2] D. R. Hofstadter «Gödel Escher Bach», 1979.

ANTALLSBEGRENSNING: Ingen begrensning frem til påmeldingsfrist
Påmeldingsfrist: 4. september

Snorre H. Christiansen jobber som professor i matematikk ved Universitetet i Oslo. De siste 10 årene har han vært opptatt med å innføre et kurs i grunnleggene matematikk for bachelorstudentene og å skrive den tilhørende læreboken «Matematisk Fundament» (Universitetsforlaget 2023), som omhandler blant annet bevis.